三角函数单调性是指正弦、余弦、正切等基本三角函数在定义域内特定区间上，函数值随自变量增大而单调递增或单调递减的性质。它是解决三角函数不等式、比较大小、求值域以及图像变换等问题的核心工具，也是高考数学中必须熟练掌握的考点。掌握正弦函数在[-π/2, π/2]上单调递增、在[π/2, 3π/2]上单调递减，余弦函数在[0, π]上单调递减、在[π, 2π]上单调递增，以及正切函数在(-π/2, π/2)上单调递增等基本规律，是正确应用的前提。
对于正弦函数y = sin x，其单调递增区间为[2kπ - π/2, 2kπ + π/2]（k∈Z），单调递减区间为[2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2]（k∈Z）。余弦函数y = cos x的单调递增区间为[2kπ - π, 2kπ]（k∈Z），单调递减区间为[2kπ, 2kπ + π]（k∈Z）。正切函数y = tan x在每一个开区间(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)（k∈Z）内单调递增，且无单调递减区间。在解题时，需注意将复杂的复合函数通过换元转化为基本三角函数的单调性进行求解，同时考虑定义域限制和周期性的影响。
【常见问题】
问题1：如何利用三角函数单调性比较两个三角函数值的大小？
回答1：利用三角函数单调性比较大小，需先确定两个角是否在同一单调区间内。例如，比较sin 1和sin 2的大小，因为正弦函数在[π/2, 3π/2]上单调递减，而1和2均位于该区间内，且1<2，所以sin 1 > sin 2。若不在同一区间，则需通过诱导公式转化到同一单调区间再比较。
问题2：求函数y = sin(2x + π/3)的单调递增区间时，如何应用三角函数单调性？
回答2：先令t = 2x + π/3，则y = sin t。根据正弦函数的单调递增区间为[2kπ - π/2, 2kπ + π/2]，解不等式2kπ - π/2 ≤ 2x + π/3 ≤ 2kπ + π/2，得到x的范围：[kπ - 5π/12, kπ + π/12]（k∈Z），即为原函数的单调递增区间。注意不要忘记考虑定义域。
问题3：三角函数单调性在求函数值域中有哪些典型应用？
回答3：常见应用是给定定义域求三角函数的值域。例如，求y = cos x在[π/3, 2π/3]上的值域，根据余弦函数在[0, π]上单调递减，所以当x = π/3时取得最大值cos(π/3)=1/2，当x=2π/3时取得最小值cos(2π/3)=-1/2，因此值域为[-1/2, 1/2]。利用单调性可以直接确定最值点，避免列表描点。
问题4：正切函数为什么没有单调递减区间？
回答4：正切函数y = tan x在每一个开区间(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)内都是单调递增的，且其图像在定义域内没有下降趋势。这是因为正切函数的导数sec²x始终大于0，因此函数在每一个连续区间内严格递增，故不存在单调递减区间。需要注意的是，正切函数在整体定义域上并非单调，因为其有间断点。