椭圆公式a b c关系 椭圆面积公式

大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。椭圆公式a，b，c关系，椭圆面积公式，很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、以下过程都是用坐标轴方程推导，x^2/a^2+y^2/b^2=1，且长轴在x轴上（其实不影响）。

2、把方程转化一下：y=|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)| sqr=开平方

3、先看普通情况——两轴焦点在0点处的椭圆的面积推导：

4、因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。

5、根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s，显然，s=y*dx

6、现在求s的定积分，即大图形的面积S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分

7、步骤：（第一象限全取正，后面不做说明）

8、S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx

9、设 x^2/a^2=sin^2t 则

10、∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率

11、∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt

12、cos^2t=1-sin^2t

13、∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt

14、这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx

15、证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则

16、∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx

17、则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt

18、那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2)

19、则S=a*b*(pi/4)

20、椭圆面积S_c=a*b*pi

21、可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率

22、所以椭圆面积为S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。

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