【可逆矩阵的秩等于什么】在矩阵理论中，矩阵的秩是一个非常重要的概念，它反映了矩阵中线性无关行或列的最大数量。对于可逆矩阵来说，它的秩具有特殊的性质。本文将总结可逆矩阵的秩是什么，并通过表格形式清晰展示相关信息。
一、可逆矩阵的定义
一个方阵 $ A $ 被称为可逆矩阵（或非奇异矩阵），如果存在另一个方阵 $ B $，使得：
$$
AB = BA = I
$$
其中 $ I $ 是单位矩阵。此时，称 $ B $ 为 $ A $ 的逆矩阵，记作 $ A^{-1} $。
二、可逆矩阵的秩
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，如果它是可逆的，那么它的秩等于其阶数，即：
$$
\text{rank}(A) = n
$$
这意味着，该矩阵的所有行向量和列向量都是线性无关的，因此矩阵的行列式不为零（$ \det(A) \neq 0 $）。
三、可逆矩阵与秩的关系总结
| 概念 | 定义 | 说明 |
| 可逆矩阵 | 存在逆矩阵的方阵 | 若 $ AB = I $，则 $ A $ 可逆 |
| 矩阵的秩 | 线性无关行（或列）的最大数量 | 表示矩阵的“信息量” |
| 可逆矩阵的秩 | 等于矩阵的阶数 | 对于 $ n \times n $ 矩阵，$ \text{rank}(A) = n $ |
| 判定条件 | 行列式不为零 | $ \det(A) \neq 0 $ 时矩阵可逆 |
| 与线性方程组关系 | 方程组有唯一解 | 当系数矩阵可逆时，方程组 $ Ax = b $ 有唯一解 |
四、结论
可逆矩阵的秩等于其阶数，这是判断矩阵是否可逆的重要依据之一。理解这一关系有助于我们在求解线性方程组、进行矩阵分解等过程中做出正确的判断。
总结：
可逆矩阵的秩等于其阶数，即 $ n $，表示矩阵的行向量和列向量均为线性无关。这是可逆矩阵的一个关键性质。